The value of power

Today we re gonna disscuss the hardest problem of MOPS MOCK 5.  

 1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো পাশাপশি লিখা হলো এতে নতুন সংখ্যাটি হলো 12345……. 979899 । যদি এই সংখ্যাটিকে 3^k দ্বারা ভাগ করা যায় তাহলে k এর সর্বোচ্চ মান কত? the number from 1 to 99 if written side by side stands 12345……… 979899. If this number is divisible by 3^k then find the highest possible value of k??

 
প্রথমে নতুন সংখ্যাটি লিখি 
123456….979899
এখন প্রত্যেকটি অঙ্কের যোগফল বের করতে হবে অর্থাৎ সাম ডিজিট বের করতে হবে। 1+2+3+………+9+8+9+9 এর মান বের করতে হবে। 
এখানে একটি sequence পাওয়া যায়  নিন্মোক্ত ভাবে
0+1+2+3+4+5…..+9=45
(0+1+2+3…+9)+1*9=54
(0+1+2+….+9)+2*9=63
.
.
.
.
.
36+9n

সুতরাং  (90-99) এর যোগফল হবে 36+9*10=126
এখন প্রত্যেকটি যোগ করি 45+54+63……+126=855
এখন আমরা জানি কোনো সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাটির অঙ্ক গুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে
855/3=285;285/3=95 
আর 3 দ্বারা নিঃশেষে  বিভাজ্য নয়। সুতরাং উক্ত বিরাট সংখ্যাটিকে 3^2 দ্বারা ভাগ করা যায় ।সুতরাং k=2
আবার আরেকটি নিয়ম করা যায় 
S=S(n)(mod9)
এখানে S হলো সংখ্যা এবং S (n) হলো সংখ্যাটির প্রত্যেকটি অঙ্কের যোগফল। 
855≡18(mod 9)≡9(mod 9) সুতরাং সংখ্যাটি 9 দ্বারা একবার বিভাজ্য । অর্থাৎ যা 3^2 দ্বারা বিভাজ্য

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *